Parámetros cosmológicos y evolución del universo

Introducción

La cosmología moderna nace con Hubble (1929), que estableció la relación lineal entre la velocidad de recesión y la distancia. Este trabajo aborda dicha relación desde tres frentes complementarios:

1. Se estima H₀ replicando el análisis sobre las 24 nebulosas originales y se compara con los valores actuales de Planck (Planck Collaboration et al., 2020) y SH0ES (Riess et al., 2022), discutiendo el origen de las discrepancias.
2. Se aplican las ecuaciones de Friedmann a un universo dominado por una única componente con ecuación de estado w = 1 (stiff matter), y se derivan el factor de escala, el parámetro de Hubble, la desaceleración, la edad y el tamaño del universo, así como el tiempo de emisión y la distancia de una fuente con z = 2.
3. Se estudian la recombinación mediante la ecuación de Saha (η = 10⁻⁹; X = 0,1, 0,5 y 0,9) y el desacoplamiento de los fotones del fondo cósmico de microondas, evaluando la influencia del valor de H₀ adoptado.

1. Cálculo de la constante de Hubble

En 1929, Edwin Hubble publicó evidencia observacional de que las nebulosas extragalácticas (hoy llamadas galaxias) se alejan de nosotros con una velocidad proporcional a su distancia (Hubble, 1929). Para demostrarlo construyó un diagrama de velocidad radial frente a distancia con 24 objetos cuyas distancias podían estimarse de forma independiente. El método consiste en:

1. Medir la velocidad radial v de cada nebulosa a partir del corrimiento al rojo (redshift) de sus líneas espectrales, aplicando el efecto Doppler.
2. Estimar la distancia r mediante indicadores de luminosidad: variables Cefeidas, novas, estrellas azules en nebulosas de emisión y el límite superior de luminosidad absoluta de las estrellas más brillantes resueltas.
3. Representar v frente a r y buscar una correlación lineal de la forma v = H₀ · r.
4. Ajustar por mínimos cuadrados la pendiente H₀ (constante de Hubble), que representa la tasa de expansión del universo.

¿Por qué se usan las variables r y v?

La distancia r (en unidades de 10⁶ pársecs, o Mpc) es la variable independiente porque representa la separación espacial entre el observador y la nebulosa. En un universo en expansión descrito por la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (Carroll, 2004), la distancia entre objetos comóviles crece con el factor de escala a(t). Medir r permite cuantificar cuánto espacio se ha expandido entre nosotros y el objeto.

La velocidad radial v (en km/s) es la variable dependiente porque es la consecuencia observable de esa expansión. El corrimiento al rojo de las líneas espectrales da directamente la componente radial de la velocidad de recesión. Si el universo se expande de forma uniforme, v debe ser proporcional a r: los objetos más lejanos se alejan más rápido porque hay más espacio entre ellos expandiéndose simultáneamente.

La relación lineal v = H₀ · r es una predicción directa de un universo homogéneo e isótropo en expansión. La pendiente H₀ tiene unidades de km/s/Mpc (equivalentes a una frecuencia, s⁻¹), y su inversa, 1/H₀, da una primera estimación del tiempo transcurrido desde el inicio de la expansión (la edad del universo en primera aproximación).

A continuación se reproducen los datos originales de la Tabla 1 de Hubble (1929), sobre los que se aplica el método descrito:

• m_s: magnitud fotográfica de las estrellas más brillantes implicadas.
• r: distancia en unidades de 10⁶ pársecs.
• v: velocidad medida en km/s.
• m_t: magnitud visual de Holetschek corregida por Hopmann.
• M_t: magnitud absoluta visual total (calculada a partir de m_t y r).

Objeto	ms	r (Mpc)	v (km/s)	mt	Mt
S. Mag.	—	0,032	170	1,5	−16,0
L. Mag.	—	0,034	290	0,5	−17,2
NGC 6822	—	0,214	−130	9,0	−12,7
NGC 598	—	0,263	−70	7,0	−15,1
NGC 221	—	0,275	−185	8,8	−13,4
NGC 224	—	0,275	−220	5,0	−17,2
NGC 5457	17,0	0,450	200	9,9	−13,3
NGC 4736	17,3	0,500	290	8,4	−15,1
NGC 5194	17,3	0,500	270	7,4	−16,1
NGC 4449	17,8	0,630	200	9,5	−14,5
NGC 4214	18,3	0,800	300	11,3	−13,2
NGC 3031	18,5	0,900	−30	8,3	−16,4
NGC 3627	18,5	0,900	650	9,1	−15,7
NGC 4826	18,5	0,900	150	9,0	−15,7
NGC 5236	18,5	0,900	500	10,4	−14,4
NGC 1068	18,7	1,000	920	9,1	−15,9
NGC 5055	19,0	1,100	450	9,6	−15,6
NGC 7331	19,0	1,100	500	10,4	−14,8
NGC 4258	19,5	1,400	500	8,7	−17,0
NGC 4151	20,0	1,700	960	12,0	−14,2
NGC 4382	—	2,000	500	10,0	−16,5
NGC 4472	—	2,000	850	8,8	−17,7
NGC 4486	—	2,000	800	9,7	−16,8
NGC 4649	—	2,000	1090	9,5	−17,0

Tabla 1. Nebulosas cuyas distancias se estimaron a partir de las estrellas que las componen o de las luminosidades medias de un cúmulo (Hubble, 1929).

Presentados los datos originales, el siguiente paso consiste en aplicar los puntos 3 y 4 del método: representar la velocidad radial v frente a la distancia r y obtener la constante de Hubble como la pendiente de la recta de mejor ajuste. Sobre los datos se superponen dos rectas (Figura 1): la roja, correspondiente al ajuste lineal libre, y la azul, correspondiente al ajuste forzado a pasar por el origen. A primera vista ambas son similares, pero la diferencia entre sus pendientes y la posición del intercepto contiene información cosmológica relevante.

Ajuste lineal libre (línea roja): v = H₀ · r + v₀. Es una regresión lineal por mínimos cuadrados en la que tanto la pendiente H₀ como el intercepto v₀ son parámetros libres. El intercepto v₀ ≠ 0 absorbe efectos sistemáticos como el movimiento peculiar del Sol respecto al marco de reposo cósmico, los errores en las distancias de los objetos más cercanos y las velocidades peculiares de las nebulosas individuales. Estadísticamente, este ajuste minimiza la suma de residuos cuadráticos sin imponer restricciones físicas.

Ajuste forzado por el origen (línea azul): v = H₀ · r. Aquí se impone la condición física de que, a distancia cero, la velocidad de recesión debe ser nula (v₀ = 0). Esto refleja directamente la ley de Hubble: la expansión del universo implica que la velocidad de recesión es proporcional a la distancia, sin término constante. El valor de H₀ obtenido es la constante de Hubble.

¿Cuál es más correcto físicamente? La línea azul tiene mayor significado cosmológico, porque es exactamente lo que predice la ley de Hubble, v = H₀ r. La diferencia entre ambas líneas revela la magnitud de las velocidades peculiares y de los errores sistemáticos de los datos. En un universo perfectamente homogéneo e isótropo, ambas líneas coincidirían; la discrepancia indica que los objetos cercanos tienen movimientos propios significativos respecto al flujo de Hubble.

Aplicados ambos procedimientos a los datos de la Tabla 1, se obtienen los resultados de la Tabla 2.

Ajuste	Parámetro	Valor	Unidades
Lineal libre (v = H₀·r + v₀)	Pendiente H₀	454,2	km/s/Mpc
	Intercepto v₀	−40,8	km/s
	R²	0,6235	—
	p-valor	4,48 × 10⁻⁶	—
Forzado por el origen (v = H₀·r)	H₀	423,9 ± 75,2	km/s/Mpc

Tabla 2. Resultados de las regresiones lineales sobre los datos de la Tabla 1.

Cabe señalar que el propio Hubble (1929), con un método de promedios por grupos sobre los mismos objetos, obtuvo un valor próximo a 500 km/s/Mpc; la diferencia con el ajuste por mínimos cuadrados de este trabajo se debe a esa distinta metodología. En cualquier caso, ambos valores son radicalmente distintos de las mediciones cosmológicas modernas (entre 67 y 73 km/s/Mpc), una discrepancia de un factor 6 a 7 que merece un análisis detallado.

¿Por qué el H₀ de Hubble (1929) no coincide con los valores actuales?

El valor obtenido por Hubble en 1929 fue H₀ ≈ 500 km/s/Mpc, mientras que las mediciones modernas convergen en torno a los siguientes valores:

• Planck (CMB, 2018): H₀ = 67,4 ± 0,5 km/s/Mpc, a partir del análisis del fondo cósmico de microondas (Planck Collaboration et al., 2020).
• SH0ES / telescopio espacial Hubble (Cefeidas + SNe Ia): H₀ = 73,04 ± 1,04 km/s/Mpc, a partir de la calibración de la escala local de distancias con Cefeidas y supernovas de tipo Ia (Riess et al., 2022).
• Hubble (1929): H₀ ≈ 500 km/s/Mpc, valor que en este trabajo, mediante un ajuste por mínimos cuadrados forzado por el origen, se recalcula en H₀ ≈ 424 km/s/Mpc.

Hubble sobreestimó H₀ en un factor de 6 a 7 (7 con su valor de 500 km/s/Mpc; 6 con el recalculado de 424). Las razones son múltiples y hoy se entienden bien:

1. Error en la calibración de distancias (escala de distancias cósmica). Hubble usó la relación periodo-luminosidad de las Cefeidas calibrada por Shapley (1918), que contenía un error sistemático fundamental: no distinguía entre las Cefeidas clásicas (población I) y las variables W Virginis (población II). Las W Virginis son ~1,5 magnitudes más débiles para el mismo periodo, lo que hacía que las distancias se subestimaran en un factor ~2. Walter Baade lo corrigió en 1952 y duplicó de inmediato la escala de distancias.
2. Confusión entre estrellas y regiones HII. En las nebulosas más lejanas, lo que Hubble identificaba como “las estrellas más brillantes” eran en realidad regiones HII (nubes de hidrógeno ionizado) no resueltas, mucho más luminosas que las estrellas individuales (Sandage, 1958). Esto llevó a subestimar las distancias de los objetos más lejanos de la muestra.
3. Muestra limitada y sesgos de selección. La muestra contenía solo 24 objetos, todos dentro de un radio de ~2 Mpc. A estas distancias tan cortas, las velocidades peculiares de las galaxias (movimientos gravitacionales locales, no cosmológicos) son comparables o mayores que la velocidad de recesión por la expansión (Strauss y Willick, 1995). Esto introduce una dispersión enorme y sesga la pendiente. Las mediciones modernas usan objetos a cientos o miles de Mpc, donde las velocidades peculiares son despreciables frente al flujo de Hubble.
4. Absorción interestelar no corregida. En 1929 la extinción por polvo no se conocía bien; Trumpler (1930) la cuantificaría por primera vez al año siguiente del trabajo de Hubble. Las magnitudes aparentes no estaban corregidas por absorción, lo que afectaba a las estimaciones de distancia basadas en la luminosidad.
5. Punto cero de la relación periodo-luminosidad. El punto cero absoluto de la relación P-L de las Cefeidas dependía de calibraciones con cúmulos estelares galácticos cuyas distancias eran imprecisas. Cada mejora en las paralajes, de Hipparcos (Perryman et al., 1997) a Gaia (Gaia Collaboration et al., 2023), ha refinado este punto cero.

Hoy existe una discrepancia de ~5σ entre el valor de H₀ medido localmente (SH0ES: ~73 km/s/Mpc; Riess et al., 2022) y el inferido del CMB (Planck: ~67 km/s/Mpc; Planck Collaboration et al., 2020). Esta tensión de Hubble es un problema abierto en cosmología y podría indicar física nueva más allá del modelo ΛCDM estándar o errores sistemáticos aún no identificados en alguno de los métodos (Verde et al., 2019; Di Valentino et al., 2021). Las primeras medidas con el telescopio espacial James Webb han reavivado el debate: el programa CCHP obtiene H₀ ≈ 70,4 km/s/Mpc con el método TRGB, compatible con ambos extremos (Freedman et al., 2025), mientras que el equipo SH0ES confirma con el JWST su calibración de las Cefeidas (≈ 73 km/s/Mpc; Riess et al., 2024). La tensión sigue abierta, pero hoy se discute tanto la posibilidad de física nueva como la de errores sistemáticos.

2. Universo dominado por una sola componente con w = 1

En cosmología, resolver simultáneamente las ecuaciones de Friedmann con todos los componentes del universo (materia, radiación y energía oscura) no admite una solución analítica cerrada y requiere integración numérica. Por ello, una estrategia pedagógica habitual consiste en considerar un universo idealizado dominado por un único componente, lo que permite obtener expresiones cerradas para los observables cosmológicos y comprender el papel individual de cada parámetro (Ryden, 2017).

En este apartado se aborda el caso de un fluido con ecuación de estado w = 1, conocido como stiff matter o materia rígida, en el que la presión iguala a la densidad de energía. Aunque ningún componente conocido cumple exactamente esta ecuación de estado en el universo actual, se han propuesto escenarios dominados por materia rígida en épocas extremadamente tempranas del universo, anteriores incluso a la era de la radiación (Zel’dovich, 1962).

Se considera un universo plano dominado por una sola componente con w = 1 y se usa a₀ = 1 (factor de escala actual normalizado a la unidad). Los resultados se comparan para:

• H₀,Hubble 1929 ≈ 424 km/s/Mpc, el valor obtenido del ajuste por el origen en el apartado anterior.
• H₀ = 70 km/s/Mpc, valor de referencia moderno.

Las ecuaciones de Friedmann (Friedmann, 1922) se derivan al aplicar las ecuaciones de campo de la relatividad general a una métrica espacialmente homogénea e isótropa (FLRW), bajo el principio cosmológico de que las propiedades del universo son las mismas en cualquier punto y en cualquier dirección a gran escala (Carroll, 2004). De este sistema solo se necesitan dos ecuaciones: la primera relaciona la tasa de expansión H con la densidad de energía total ρ, y la segunda, que se deriva de la primera junto con la conservación de la energía, describe cómo evoluciona ρ con el factor de escala. Para un fluido perfecto con ecuación de estado P = w · ρc² constante, esta evolución toma la forma general que se desarrolla a continuación (Kolb y Turner, 1990).

Ecuaciones de Friedmann para una sola componente

La primera ecuación de Friedmann resulta de aplicar la relatividad general a un universo homogéneo, isótropo y plano (Friedmann, 1922):

H² = (ȧ / a)² = (8πG / 3) · ρ

Para un fluido perfecto con ecuación de estado P = wρc², la densidad de energía evoluciona como:

ρ(a) = ρ₀ · a^−3(1+w)

Volviendo a la primera ecuación de Friedmann y sustituyendo ρ(a) con w = 1:

H² = (8πG / 3) · ρ₀ · a⁻⁶

Aplicando la normalización actual, es decir, evaluando la ecuación en a = a₀ = 1, donde H = H₀:

H₀² = (8πG / 3) · ρ₀

1. Factor de escala a(t). Sustituyendo H₀ en la ecuación anterior se obtiene H² = H₀² a⁻⁶. Tomando la raíz cuadrada y despejando ȧ:

ȧ / a = H₀ a⁻³ ⟹ ȧ = H₀ a⁻²

Separando variables, a² da = H₀ dt, e integrando con a = 0 en t = 0:

a³ / 3 = H₀ t ⟹ a(t) = (3 H₀ t)^1/3

2. Parámetro de Hubble H(t).

H(t) = ȧ / a = 1 / (3t)

¿Se expande este universo? Sí, y la demostración es directa:

1. H(t) = ȧ/a > 0 para todo t > 0, lo que significa que el factor de escala a(t) crece monótonamente con el tiempo.
2. De forma equivalente, ȧ = H₀ a⁻² > 0 siempre, por lo que a nunca decrece.
3. Físicamente, las distancias entre objetos comóviles aumentan continuamente: d(t) = a(t) · d_c, donde d_c es la distancia comóvil (constante).

Sin embargo, la tasa de expansión H(t) = 1/(3t) disminuye con el tiempo (decae como 1/t). Esto indica que, aunque el universo siempre se expande, lo hace cada vez más despacio. No existe un punto de inflexión ni una fase de contracción: el universo se expande desde el Big Bang (t = 0, a = 0) hasta t → ∞ (a → ∞), pero nunca de forma acelerada. Evaluando hoy (t = t₀ = 1/(3H₀)):

H(t₀) = 1 / (3 · 1/(3H₀)) = H₀ = 70 km/s/Mpc

lo cual es consistente con la definición de H₀ como el valor actual del parámetro de Hubble.

3. Parámetro de desaceleración q(t). Calculando ȧ y ä:

ȧ = H₀ (3H₀t)^−2/3 ä = −2H₀² (3H₀t)^−5/3

Entonces:

q = −ä · a / ȧ² = −[−2H₀²(3H₀t)^−5/3 · (3H₀t)^1/3] / [H₀(3H₀t)^−2/3]² = 2

Como q > 0, la expansión es desacelerada (para una expansión acelerada se requiere q < 0, es decir, w < −1/3). En general, para un universo dominado por una componente con ecuación de estado w:

q = (1 + 3w) / 2; con w = 1 ⟹ q = 2

Hasta aquí se han obtenido las tres cantidades cinemáticas fundamentales que describen la dinámica del universo en este modelo: el factor de escala a(t), su tasa relativa de cambio H(t) y la aceleración de esa tasa, codificada en q(t). A partir de ellas pueden derivarse las magnitudes físicas observables: la edad del universo (cuánto tiempo ha transcurrido desde el origen de la expansión), el tamaño del universo observable (qué distancia máxima ha podido recorrer la luz) y las distancias a fuentes con un redshift dado.

4. Edad del universo t₀. Evaluando a(t₀) = a₀ = 1:

1 = (3H₀t₀)^1/3 ⟹ t₀ = 1 / (3H₀)

5. Tamaño del universo (horizonte de partículas). El horizonte de partículas, la distancia comóvil máxima desde la que puede llegar información, es (Ryden, 2017):

d_h = c ∫₀^t₀ dt / a(t) = c ∫₀^t₀ (3H₀t)^−1/3 dt = c · (3H₀)^−1/3 · [t^2/3 / (2/3)]₀^t₀ = (3c/2) · (3H₀)^−1/3 · t₀^2/3

Sustituyendo t₀ = 1/(3H₀):

d_h = (3c/2) · (3H₀)^−1/3 · (3H₀)^−2/3 = (3c/2) · 1/(3H₀) ⟹ d_h = c / (2H₀)

Valores numéricos, con c ≈ 3 × 10⁵ km/s y los dos valores de H₀:

• Con H₀ = 70 km/s/Mpc: d_h = 300.000 / (2 · 70) Mpc ≈ 2143 Mpc. Son unos 7000 millones de años luz: un universo de materia rígida con el H₀ moderno tendría un radio observable de unos 7 Gly. Como comparación, el universo real tiene un horizonte de partículas de unos 46 Gly (Planck Collaboration et al., 2020), bastante mayor.
• Con H₀ = 424 km/s/Mpc (Hubble, 1929): d_h = 300.000 / (2 · 424) Mpc ≈ 354 Mpc. El universo de materia rígida de Hubble sería ridículamente pequeño: unos 1000 millones de años luz de radio.

6. Fuente con redshift z = 2: tiempo de emisión y distancia. Cuando una galaxia lejana emite luz, esa luz llega con sus líneas espectrales desplazadas hacia el rojo: la longitud de onda observada es mayor que la emitida. La medida estándar de ese desplazamiento es el redshift z:

1 + z = λ_observada / λ_emitida

Si z = 0 no hay desplazamiento (la fuente está en reposo respecto a nosotros); si z = 1, la longitud de onda observada es el doble de la emitida; si z = 2, el triple. Un redshift z = 2 corresponde, por tanto, a luz emitida cuando el factor de escala valía la tercera parte del actual (a(t_e) = 1/3), es decir, cuando todas las distancias entre objetos comóviles eran tres veces menores que hoy. Para determinar cuándo se emitió esa luz y a qué distancia se encuentra hoy su fuente, se combina la relación entre redshift y factor de escala con la expresión de a(t) obtenida antes:

1 + z = a₀ / a(t_e) = 1 / a(t_e) ⟹ a(t_e) = 1 / (1 + z) = 1/3

Tiempo de emisión:

a(t_e) = (3H₀t_e)^1/3 = 1/3 ⟹ 3H₀t_e = 1/27 ⟹ t_e = 1 / (81 H₀) = t₀ / 27

t_e es muy pequeño comparado con t₀: la luz que se observa con z = 2 salió cuando el universo tenía solo 1/27 de su edad actual.

Distancia comóvil al observador. Esta integral es muy parecida a la del horizonte de partículas, con la diferencia de que solo cuenta el viaje desde la fuente, no desde el principio del universo:

d_c = c ∫_te^t₀ dt / a(t) = (3c/2) · (3H₀)^−1/3 · [t₀^2/3 − t_e^2/3] = (c / 2H₀) · [1 − (t_e/t₀)^2/3]

Evaluando t_e/t₀ = 1/27:

d_c = (c / 2H₀) · [1 − (1/27)^2/3] = (c / 2H₀) · [1 − 1/9] = (c / 2H₀) · (8/9) = 4c / (9H₀)

Distancia propia (física) hoy. La distancia propia entre dos puntos en un instante dado es d_p(t) = a(t) · d_c. Hoy (t = t₀, con a₀ = 1), la distancia propia coincide numéricamente con la comóvil:

d_p = d_c = 4c / (9H₀)

Aplicando las expresiones analíticas anteriores con los dos valores de H₀ se obtienen los resultados de la Tabla 3.

Magnitud	Símbolo	H₀ = 424 km/s/Mpc (Hubble, 1929)	H₀ = 70 km/s/Mpc (moderno)
Constante de Hubble	H₀	424,0 km/s/Mpc	70,0 km/s/Mpc
Parámetro de desaceleración	q	2,0	2,0
Régimen de expansión	—	Desacelerada	Desacelerada
Edad del universo	t₀ = 1/(3H₀)	0,769 Gyr	4,656 Gyr
Horizonte de partículas	dh = c/(2H₀)	353,5 Mpc (1,15 Gly)	2141,4 Mpc (6,98 Gly)
Tiempo de emisión (z = 2)	te = t₀/27	0,0285 Gyr	0,1724 Gyr
Distancia propia (z = 2)	dp = 4c/(9H₀)	314,2 Mpc (1,02 Gly)	1903,4 Mpc (6,21 Gly)

Tabla 3. Observables cosmológicos de un universo dominado por materia rígida (w = 1), evaluados con dos valores de la constante de Hubble (el de 1929 y el moderno).

La Figura 2 representa la evolución del factor de escala a(t) en ambos escenarios de forma superpuesta. Se observan dos curvas crecientes desde el origen:

• La azul (Hubble 1929, H₀ = 424) sube rapidísimo: cruza a = 1 a los 0,77 Gyr y, para t = 9 Gyr, ya supera a = 2.
• La naranja (moderno, H₀ = 70) sube mucho más despacio: cruza a = 1 a los 4,66 Gyr y está cerca de a ≈ 1,25 al final del rango.

Las líneas verticales punteadas marcan cuándo es “hoy” en cada universo (cada t₀), y los puntos rojos, cuándo se emitió la luz que se observa con z = 2.

Ambas curvas tienen la misma forma; lo que cambia es cuánto se estiran o se comprimen en el tiempo real. Con un H₀ grande, el universo “envejece” muy rápido: las mismas fases de expansión ocurren en escalas temporales menores. Por eso, al superponerlas en tiempo real, parece que una curva “va por delante” de la otra.

Comparación entre ambos valores de H₀

Todos los observables cosmológicos calculados en este modelo dependen inversamente de la constante de Hubble. Las expresiones cerradas obtenidas se resumen en:

t₀ = 1/(3H₀), d_h = c/(2H₀), d_p(z = 2) = 4c/(9H₀), t_e(z = 2) = t₀/27

Es decir, duplicar H₀ implica reducir a la mitad la edad, el tamaño del universo observable y la distancia a una fuente dada. Como el valor obtenido de los datos de Hubble (1929) es unas 6 veces mayor que el valor moderno de referencia (424 frente a 70 km/s/Mpc), el universo resultante en ese escenario es proporcionalmente más joven (0,77 Gyr frente a 4,66 Gyr) y más pequeño (354 Mpc frente a 2141 Mpc en el horizonte de partículas).

Esta diferencia ilustra de forma directa el impacto cuantitativo de la sobreestimación histórica de H₀ discutida en el primer apartado: una constante de Hubble desproporcionadamente alta no solo desplaza los valores numéricos, sino que produciría un universo de materia rígida tan joven (~770 millones de años) que sería incompatible con la edad observada de las estrellas más antiguas conocidas en la propia Vía Láctea (~13 Gyr; Bond et al., 2013).

Conclusiones sobre el modelo w = 1

El análisis cuantitativo permite extraer varias conclusiones sobre las propiedades de un universo dominado por materia rígida:

• La densidad de energía decae como ρ ∝ a⁻⁶, más rápido que la radiación (a⁻⁴) o la materia no relativista (a⁻³). Un componente de materia rígida pierde relevancia cosmológica con la expansión a un ritmo sin parangón entre los fluidos físicos: si en algún momento dominó, su contribución relativa cae rapidísimamente a medida que el universo se estira.
• El factor de escala crece como a ∝ t^1/3, más despacio que con materia (t^2/3) o radiación (t^1/2). La expansión es vigorosa al principio, pero se aplana enseguida, reflejo de la fuerte autogravedad de un fluido con una presión tan elevada.
• El parámetro de desaceleración q = 2 alcanza el valor máximo permitido por la relatividad general para un fluido perfecto, correspondiente al límite causal w = 1, en el que la velocidad del sonido iguala a la de la luz. Cualquier valor mayor de q exigiría w > 1 y violaría la causalidad. La expansión es, por tanto, desacelerada de la forma más extrema posible entre los modelos físicamente admisibles.
• La edad del universo obtenida con H₀ = 70 km/s/Mpc es ≈ 4,66 Gyr, menos de un tercio de la edad real medida, ~13,8 Gyr (Planck Collaboration et al., 2020), lo que confirma que el universo real no está dominado por materia rígida.
• Pese a su irrelevancia en la cosmología actual, este tipo de fluido pudo dominar en épocas muy tempranas, anteriores incluso a la era de la radiación (Zel’dovich, 1962), cuando las densidades de energía eran lo bastante altas como para que la presión asociada compitiera con la propia densidad de energía. Estudiarlo, por tanto, no es un ejercicio puramente académico: aporta intuición sobre regímenes del universo primitivo difíciles de explorar directamente y ofrece una referencia extrema con la que contrastar los demás modelos cosmológicos.

3. Redshift y temperatura de la recombinación y el desacoplamiento

En este apartado se abandona el modelo de materia rígida y se considera un escenario físico realista: el universo primitivo dominado por radiación y materia bariónica acopladas mediante dispersión Thomson. El objetivo es determinar, primero, el redshift de recombinación, el momento en que protones y electrones libres se combinan para formar hidrógeno neutro; y, segundo, el redshift de desacoplamiento, en el que el camino libre medio de los fotones se vuelve mayor que el horizonte de Hubble y la radiación cósmica de fondo queda libre para propagarse hasta nosotros (Dodelson, 2003; Mukhanov, 2005). Se sigue la formulación del Tema 6 de la asignatura (Gil-Merino y Rubio, 2024), aplicando la ecuación de Saha en su forma de clase y la condición de desacoplamiento Γ = H.

En equilibrio termodinámico, la fracción de ionización del hidrógeno se obtiene de la ecuación de Saha (Saha, 1920), que equilibra las tasas de ionización y recombinación. Se cargan las constantes físicas en el sistema correspondiente (energías en eV, secciones eficaces en m², distancias en m) y los parámetros cosmológicos:

• Temperatura actual del CMB: T₀ = 2,7255 K, medida por COBE/FIRAS (Fixsen, 2009).
• Cociente bariones/fotones: η = 10⁻⁹.
• Parámetro de densidad de materia: Ω_m,0 = 0,3, consistente con el modelo ΛCDM (Planck Collaboration et al., 2020).

Se consideran los dos valores de H₀ ya trabajados: H₀ = 424 km/s/Mpc, ajustado de los datos de Hubble (1929), y H₀ = 70 km/s/Mpc como valor moderno de referencia.

La fracción de ionización se define como:

X ≡ n_e / (n_p + n_H) = n_e / n_B

donde X = 1 corresponde a un plasma completamente ionizado y X = 0 a hidrógeno totalmente neutro. La ecuación de Saha, en la forma de la ecuación (5) del Tema 6 (Gil-Merino y Rubio, 2024), relaciona X con la temperatura T y con η:

(1 − X) / X² = 3,84 · η · (kT / m_ec²)^3/2 · exp(Q / kT)

donde Q = 13,6 eV es la energía de ionización del hidrógeno y m_ec² = 511 keV, la energía en reposo del electrón. Una vez obtenida T, el redshift se calcula a partir de T(z) = T₀(1 + z), relación que se deriva de la conservación de la entropía del fluido de fotones durante la expansión adiabática (Weinberg, 2008):

z = T / T₀ − 1

Es importante señalar que la ecuación de Saha es una condición de equilibrio termodinámico local y no contiene H₀. Por tanto, los redshifts de recombinación obtenidos son idénticos para ambos valores de H₀, como se confirma a continuación.

X	Trec (K)	zrec
0,9	4092,3	1501
0,5	3806,7	1396
0,1	3476,1	1275

Tabla 4. Recombinación (η = 10⁻⁹, independiente de H₀).

La fracción de ionización pasa del 90 % al 10 % en un intervalo estrecho, Δz ≈ 230, lo que justifica la idea intuitiva de la recombinación como un proceso “rápido” a escala cosmológica. El valor convencional X = 0,5 sitúa la recombinación en z ≈ 1396, en buen acuerdo con la literatura estándar (Peebles, 1968; Mukhanov, 2005).

Tasa de dispersión Thomson. Los fotones del baño de radiación interactúan con los electrones libres mediante dispersión Thomson (Rybicki y Lightman, 1979). La tasa de interacción por fotón es:

Γ(z) = n_e(z) σ_T c = X(z) n_B(z) σ_T c

con σ_T = 6,65 × 10⁻²⁹ m² la sección eficaz Thomson. Aprovechando que la densidad bariónica escala como n_B(z) = n_B,0(1 + z)³ y sustituyendo n_B,0 = Ω_B,0 ρ_c,0 / m_p con Ω_B,0 = 0,04, se obtiene la expresión cerrada del Tema 6 (Gil-Merino y Rubio, 2024):

Γ(z) = 4,4 × 10⁻²¹ · X(z) · (1 + z)³ [s⁻¹]

Parámetro de Hubble en dominación de materia. En el rango z < z_eq relevante para la recombinación, el universo está dominado por materia no relativista y la ecuación de Friedmann se reduce a (Liddle, 2015):

H(z) = H₀ √Ω_m,0 · (1 + z)^3/2

Aquí sí entra H₀ explícitamente, y de ahí procede la dependencia del desacoplamiento con el valor adoptado de la constante de Hubble.

El desacoplamiento entre materia y radiación se produce cuando la tasa de dispersión de un fotón se iguala al ritmo de expansión del universo (Dodelson, 2003): Γ(z_dec) = H(z_dec). Sustituyendo las expresiones anteriores e imponiendo la igualdad, queda la ecuación implícita:

1 + z_dec = [H₀ √Ω_m,0 / (4,4 × 10⁻²¹ · X(z_dec))]^2/3

Se resuelve numéricamente, porque X(z) también depende de z a través de la ecuación de Saha. La temperatura asociada es T_dec = T₀(1 + z_dec). Un H₀ mayor implica una expansión más rápida, de modo que Γ = H se alcanza antes (a mayor z), lo que da un desacoplamiento más temprano.

H₀	zdec	Tdec (K)
424 km/s/Mpc (ejercicio)	1222	3332,2
70 km/s/Mpc	1137	3101,2

Tabla 5. Desacoplamiento (Ω_m,0 = 0,3).

Fracción de ionización X(z) según la ecuación de Saha. A continuación se representa la solución de la ecuación de Saha en el rango z ∈ [500, 2000], marcando los tres hitos del proceso de recombinación (X = 0,9, 0,5 y 0,1), tanto en función del redshift como de la temperatura.

Condición de desacoplamiento: Γ(z) frente a H(z). Superponiendo en escala logarítmica la tasa de dispersión Thomson Γ(z) y el parámetro de Hubble H(z) para ambos valores de H₀, puede identificarse gráficamente la intersección que define z_dec. Para H₀ = 424 km/s/Mpc la curva de H está desplazada globalmente hacia arriba (la expansión es aproximadamente seis veces más rápida en todo z), por lo que la igualdad Γ = H se alcanza a un redshift considerablemente mayor.

Reuniendo los resultados de los dos cálculos: la recombinación es independiente de H₀ (solo depende de η y de las constantes atómicas), mientras que el desacoplamiento sí depende del valor adoptado de la constante de Hubble.

Magnitud	Condición	H₀ = 424 km/s/Mpc	H₀ = 70 km/s/Mpc
zrec (X = 0,9)	Inicio de la recombinación	1501	1501
zrec (X = 0,5)	Punto medio	1396	1396
zrec (X = 0,1)	Final de la recombinación	1275	1275
zdec	Γ = H	1222	1137
Tdec	T₀(1 + zdec)	3332 K	3101 K

Tabla 6. Recombinación (ecuación de Saha) y desacoplamiento (condición Γ = H), calculados con η = 10⁻⁹ y Ω_m,0 = 0,3.

Como comparación, el modelo simplificado del Tema 6 de la asignatura (Gil-Merino y Rubio, 2024), con η = 5,5 × 10⁻¹⁰ y H₀ = 67,4 km/s/Mpc, obtiene:

• z_rec ≈ 1375 (con X = 0,5).
• z_dec ≈ 1140.

En concordancia razonable con el valor canónico de la superficie de última dispersión de Planck, z* ≈ 1090 (Planck Collaboration et al., 2020).

Conclusiones sobre la recombinación y el desacoplamiento

La recombinación no depende de H₀. La ecuación de Saha es una condición de equilibrio termodinámico local que solo involucra T, η y constantes atómicas. Esto explica que los redshifts de recombinación de la Tabla 6 sean idénticos para ambos valores de H₀: la física microscópica del átomo de hidrógeno no “sabe” a qué ritmo se expande el universo (Mukhanov, 2005).

El desacoplamiento sí depende de H₀, aunque débilmente. La condición Γ = H involucra el parámetro de Hubble. Si la fracción de ionización X fuera constante, de la ecuación implícita se obtendría la escala 1 + z_dec ∝ H₀^2/3, y un factor seis en H₀ se traduciría en un factor 6^2/3 ≈ 3,3 en (1 + z_dec). Pero X(z) cae en picado durante la recombinación y absorbe casi todo el efecto: la dependencia real es mucho más débil (1223/1138 ≈ 1,07). Como muestra la Tabla 6, con H₀ = 424 km/s/Mpc el desacoplamiento ocurre a z ≈ 1222 (T ≈ 3332 K), notablemente antes que con H₀ = 70 km/s/Mpc (z ≈ 1137, T ≈ 3101 K).

Orden temporal: por qué z_dec ≲ z_rec. La densidad de electrones libres n_e = X n_B no cae a cero instantáneamente al terminar la recombinación: queda una pequeña fracción residual de hidrógeno ionizado que sigue dispersando fotones. El desacoplamiento se produce algo después, cuando esa fracción residual es ya lo bastante baja para que Γ < H. En el modelo canónico ΛCDM esto se traduce en z_rec ≈ 1100 y z_dec ≈ 1085 (Hu y Dodelson, 2002; Planck Collaboration et al., 2020). El modelo simplificado reproduce este orden cualitativamente, aunque con valores numéricos algo más altos por la aproximación de Saha en equilibrio estricto (Peebles, 1968).

Conclusiones finales

Los tres problemas abordados comparten un hilo conductor: el papel central de la constante de Hubble H₀ como parámetro que fija las escalas temporal y espacial del universo.

En el primero, la reproducción del ajuste de Hubble (1929) sobre las 24 nebulosas originales da H₀ ≈ 424 km/s/Mpc (forzado por el origen), un valor sobreestimado en un factor ~6 respecto a las mediciones modernas (Planck Collaboration et al., 2020; Riess et al., 2022) por causas hoy bien identificadas. La diferencia entre los valores actuales del CMB y de la escala local, la tensión de Hubble, sigue siendo un problema abierto que podría apuntar a física más allá del modelo ΛCDM (Verde et al., 2019; Di Valentino et al., 2021).

El segundo problema mostró, mediante las expresiones cerradas a(t) = (3H₀t)^1/3, t₀ = 1/(3H₀), d_h = c/(2H₀) y q = 2 para un universo dominado por materia rígida (w = 1), que todos los observables escalan inversamente con H₀. El resultado es un universo desproporcionadamente joven en ambos escenarios (0,77 y 4,66 Gyr), incompatible con la edad real de ~13,8 Gyr (Planck Collaboration et al., 2020). El modelo conserva, no obstante, valor pedagógico, porque ilustra el límite causal de la relatividad general y aporta intuición sobre épocas muy tempranas (Zel’dovich, 1962).

Por último, el tercer problema completa la imagen al aplicar la ecuación de Saha junto con la condición de desacoplamiento Γ = H: se obtiene un redshift de recombinación z_rec ≈ 1396 (independiente de H₀, al tratarse de equilibrio termodinámico local) y un redshift de desacoplamiento z_dec ≈ 1222 o 1137 según el valor de H₀ adoptado, en concordancia razonable con z* ≈ 1090 (Planck Collaboration et al., 2020).

Esta asimetría, invariancia termodinámica frente a dependencia cinemática, revela la separación entre la física microscópica del átomo de hidrógeno y la dinámica global de la expansión, y resume la doble lección del trabajo: H₀ articula todo el edificio cosmológico, pero los modelos simplificados, aunque correctos en primer orden, son insuficientes ante la precisión actual del campo, capaz de discernir tensiones de 5σ entre métodos independientes y que abre, quizá, la puerta a una física nueva por descubrir.

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